Question

（2013•煙臺一模）給出下列命題：
①函數y=

x

x2+4

在區間[1，3]上是增函數；
②函數f（x）=2^x-x²的零點有3個；
③函數y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

π -π

sinxdx；
④若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，則P（ξ≥2）=0.2．
其中真命題的序號是（請將所有正確命題的序號都填上）：

②④

．

Answer 1

分析：①借助于導數來解決函數的單調性問題；
②函數的零點問題可借助于兩函數圖象的交點來完成，用圖形來做；
③考查定積分的幾何意義；
④考查正態分布的有關概率，注意ξ～N（1，σ²），即是1的左右兩側的概率全是0.5．

解答：解：①由于y=

x

x2+4

的導函數是y′=

4-x2

(x2+4)2

，令y′＞0，解得-2＜x＜2，故①錯誤；
②由于函數f（x）=2^x-x²的零點的個數即是方程2^x-x²=0的解的個數，也是函數y1=2x與y2=x2交點個數，
在同一直角坐標系中，分別畫出兩函數的圖象如下：
則函數有三個零點，故②正確；
③由于函數y=sin x（x∈[-π，π]）圖象是關于關于原點對稱，故與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

0 -π

-sinxdx+

∫

π 0

sinxdx，故③錯；
④由于ξ～N（1，σ²），則P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.3，則P（ξ≥2）=

1-2×0.3

2

=0.2，故④正確．
故答案為②④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，我們可以對四個結論逐一進行判斷，方可得到正確的結論