Question

已知△ABC的一個頂點A（-1，-4），∠B、∠C的內角平分線所在直線的方程分別為l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0．
（Ⅰ）求BC邊上的高所在直線的方程；
（Ⅱ）求△ABC的內切圓方程．

Answer 1

分析：（I）利用軸對稱的知識建立關系式，解出點A關于直線l₁、l₂對稱點A'、A″的坐標，再由直線方程的兩點式列式，化簡得到A'A″的方程x+2y-3=0，即為邊BC所在直線的方程．再求出與BC垂直的直線的斜率，利用點斜式列式并化簡，可得BC邊上的高所在的直線的方程；
（II）根據題意，聯解l₁、l₂的方程得到l₁、l₂的交點坐標，即為△ABC的內切圓的圓心．再由點到直線的距離公式求出圓心到BC邊的距離，即為內切圓半徑r，由此即可得到△ABC的內切圓方程．

解答：解：（I）設點A（-1，-4）關于直線y+1=0的對稱點為A'（x₁，y₁），
可得x₁=-1，

1

2

（-4+y₁）=-1，解得y₁=2×（-1）-（-4）=2，
∴A'坐標為（-1，2），
再設點A（-1，-4）關于l₂：x+y+1=0的對稱點為A″（x₂，y₂），
可得

y2+4 x2+1 •(-1)=-1 x2-1 2 + y2-4 2 +1=0

，
解之得x₂=3，y₂=0，
∴A″坐標（3，0），
∵∠B、∠C的內角平分線所在直線的方程分別為l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0，
∴點A'與點A″都在直線BC上，
根據直線方程的兩點式，得直線A'A″的方程為

y-2

0-2

=

x+1

3+1

，
化簡得x+2y-3=0，即為邊BC所在直線的方程，
∵直線BC的斜率k=-

1

2

，
∴BC邊上的高所在的直線的斜率為k'=

-1

k

=2，
∵A點坐標為（-1，-4），
∴BC邊上的高所在的直線的方程為y+4=2（x+1），
化簡得2x-y-2=0；
（ II）根據題意，可得△ABC的內角平分線l₁與l₂的交點即為△ABC的內切圓的圓心，
聯解

y+1=0 x+y+1=0

，得

x=0 y=-1

，可得內切圓的圓心為（0，-1），
又∵圓心到直線BC的距離為半徑，
∴內切圓的半徑r=

|-2-3|

5

=

5

，
因此，△ABC的內切圓方程為x²+（y+1）²=5．

點評：本題給出三角形滿足的條件，求直線BC的方程與BC邊上高所在直線方程，并求三角形的內切圓方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關系、圓的標準方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．