Question

設A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，O是坐標原點，且∠AOP=

π

6

，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若點Q的坐標是 （m，

4

5

），求cos（α-

π

6

）的值；
（Ⅱ）設函數f(a)=

OP

•

OQ

，求f（a）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意和平方關系求出m的值，即由三角函數的定義求出α的正弦和余弦值，代入兩角差的余弦公式進行求解；
（Ⅱ）根據三角函數的定義求出

OP

和

OQ

的坐標，由數量積的坐標表示求出函數的解析式，利用兩角和的正弦公式進行化簡，根據角α的范圍求出α+

π

3

的范圍，利用正弦函數的性質求出函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵∠AOQ=α，Q是單位圓上兩點，O是坐標原點，且Q（m，

4

5

），
∴sinα=

4

5

，m=cosα=±

3

5

，
∴cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

±3 3 +4

10

，
（Ⅱ）由題意知，

OP

=（cos

π

6

，sin

π

6

），

OQ

=（cosα，sinα），
∴f(a)=

OP

•

OQ

=cos

π

6

cosα+sin

π

6

sinα=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin（α+

π

3

），
∵0≤α＜π，∴

π

3

≤α+

π

3

＜

4π

3

，∴-

3

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
故f（a）的值域是（-

3

2

，1]．

點評：本題考查了三角函數求值和三角函數的值域，利用整體代入是常用的技巧，這里要分析已知和要求的結論之間的角的關系和三角函數名稱之間的關系，需要利用三角函數的定義求出向量的坐標，是向量和三角函數結合的題目．