Question

已知函數f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

．
（1）請在直角坐標系中畫出函數f（x）的圖象，并寫出該函數的單調區間；
（2）若函數g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）x≤0的圖象部分可由圖象變換作出；x＞0的部分為拋物線的一部分．
（2）數形結合法：轉化為直線y=m與函數f（x）的圖象有三個交點．

解答：解：（1）f（x）=

2-( 1 3 )x 1 2 (x-1)2+ 1 2

，函數f（x）的圖象如圖所示：
由圖象得：函數f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調增區間是（-∞，0），（1，+∞）．
（2）作出直線y=m，函數g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點等價于函數y=m與函數f（x）的圖象恰有三個不同公共點．
由函數f（x）=

2-( 1 3 )x 1 2 (x-1)2+ 1 2

的圖象易知：m∈(

1

2

，1)．
故m的取值范圍為（

1

2

，1）．

點評：本題考查了函數圖象的作法、函數的單調性及函數零點問題，本題的解決過程充分體現了數形結合思想的作用．