Question

（本小題滿分12分）如圖，為空間四點．在中，．等邊三角形以為軸運動．
（1）當平面平面時，求；
（2）當轉動時，證明總有？

Answer 1

（1）． （2）證明：見解析。

本題考查用線面垂直的方法來證明線線垂直，考查答題者的空間想象能力．
（Ⅰ）取出AB中點E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD．
（Ⅱ）總有AB⊥CD，當D∈面ABC內時，顯然有AB⊥CD，當D在而ABC外時，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．
解：（1）取的中點，連結，因為是等邊三角形，所以．
當平面平面時，因為平面平面，
所以平面，可知                       …………4分
由已知可得，
在中，．                 …………6分
（2）證明：
（ⅰ）當在平面內時，因為，
所以都在線段的垂直平分線上，即．
（ⅱ）當不在平面內時，由（Ⅰ）知．
又因，所以．
又為相交直線，所以平面，
由平面，得．
綜上所述，總有．                …………12分