Question

已知函數是奇函數，定義域為區間D（使表達式有意義的實數x 的集合）．

（1）求實數m的值，并寫出區間D；

（2）若底數a＞1，試判斷函數y=f（x）在定義域D內的單調性，并說明理由；

（3）當x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數）時，函數值組成的集合為[1，+∞），求實數a、b的值．

Answer 1

考點：

對數函數的單調性與特殊點；對數函數的值域與最值．

專題：

綜合題；轉化思想．

分析：

（1）由奇函數的性質，可得f（x）+f（﹣x）=0，代入函數的解析式，轉化為方程f（x）+f（﹣x）=0在區間D上恒成立，進而求解；

（2）令，先求出該函數在定義域D內的單調性，然后利用復合函數的單調性，求出f（x）的單調性．

（3）首先由A⊆D，求出a、b的范圍，進而結合（2）中的結論，確定函數f（x）的單調性，然后利用函數的單調性確定函數的最值，結合已知，解方程求出a，排除b＜1的情況，最終確定b的值．

解答：

解（1）∵y=f（x）是奇函數，

∴對任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）

化簡此式，得（m²﹣1）x²﹣（2m﹣1）²+1=0．又此方程有無窮多解（D是區間），

必有，解得m=1．（4分）

∴．（5分）

（2）當a＞1時，函數上是單調減函數．

理由：令．

易知1+x在D=（﹣1，1）上是隨x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是隨x增大而減小，（6分）

故在D=（﹣1，1）上是隨x增大而減小．（8分）

于是，當a＞1時，函數上是單調減函數．（10分）

（3）∵A=[a，b）⊆D，

∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）

∴依據（2）的道理，當0＜a＜1時，函數上是增函數，（12分）

即，解得．（14分）

若b＜1，則f（x）在A上的函數值組成的集合為，不滿足函數值組成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函數的變化趨勢分析，得出b=1）

∴必有b=1．（16分）

因此，所求實數a、b的值是．

點評：

本題主要考查對數函數的單調性和奇偶性、求函數值域、恒成立等知識，以及運算求解能力．在解答過程當中，分析問題的能力、運算的能力、問題轉換的能力以及分類討論的能力都得到了充分的體現，值得同學們體會反思．