Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

2

2

的橢圓經過點（

6

，1）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的一個焦點且互相垂直的直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，經過點（

6

，1），
∴e=

c

a

=

2

2

?

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

①，

( 6 )2

a2

+

12

b2

=1②，
由①②解得a²=8，b²=4，
∴該橢圓的標準方程為：

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）∵橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的左焦點F₁（-2，0）；
設過其左焦點F₁的直線AB的方程為：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程組

y=k1(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得（2k12+1）x²+8k12x+8k12-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8k12

2k12+1

，x₁•x₂=

8k12-8

2k12+1

由弦長公式得|AB|=

1+k12

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (k12+1)

2k12+1

，
同理設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=

1+k22

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

4 2 (k22+1)

2k22+1

，，
由（1）k₁•k₂=-1得k₂=-

1

k1

，代入得|CD|=

4 2 (k12+1)

k12+2

，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

|AB|+|CD|

|AB|•|CD|

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3

4 2

=

3 2

8

，則存在λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．