Question

（2013•淄博二模）袋中有8個大小相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．
（I）若從袋中一次摸出2個小球，求恰為異色球的概率；
（II）若從袋中一次摸出3個小球，且3個球中，黑球與白球的個數都沒有超過紅球的個數，記此時紅球的個數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）從8個球中摸出2個小球的種數為

C

2 8

=28．其中 一次摸出2個小球，恰為異色球包括一黑一白，一黑一紅，一白一紅三種類型，為

C

1 1

C

1 7

+

C

1 3

C

1 4

，根據古典概型的概率計算公式即可得出．
（II）符合條件的摸法包括以下三種：一種是有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有

C

1 1

C

1 4

C

1 3

種方法；一種是有2個紅球，1個其它顏色球，共有

C

2 4

C

1 4

種方法；一種是所摸得的3小球均為紅球，共有

C

3 4

=4種摸法；故符合條件的不同摸法共有40種．利用古典概型的概率計算公式、分布列和數學期望的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）摸出的2個小球為異色球的種數為

C

1 1

C

1 7

+

C

1 3

C

1 4

=19．
從8個球中摸出2個小球的種數為

C

2 8

=28．
故所求概率為P=

19

28

．
（Ⅱ）符合條件的摸法包括以下三種：
一種是有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有

C

1 1

C

1 4

C

1 3

=12種．
一種是有2個紅球，1個其它顏色球，共有

C

2 4

C

1 4

=24種，
一種是所摸得的3小球均為紅球，共有

C

3 4

=4種不同摸法，
故符合條件的不同摸法共有40種．
P（ξ=1）=

12

40

=

3

10

，P（ξ=2）=

24

40

=

3

5

，P（ξ=3）=

4

40

=

1

10

．
由題意知，隨機變量ξ的取值為1，2，3．其分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 10	3 5	1 10

Eξ=1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

=

9

5

．

點評：正確分類和掌握古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數學期望是解題的關鍵．