Question

已知函數f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

，現給出下列命題：
①當圖象是一條連續不斷的曲線時，則a=

1

8

；
②當圖象是一條連續不斷的曲線時，能找到一個非零實數a，使得f（x）在R上是增函數；
③當a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④當a=

1

4

時，則方程f（x²+1）-f（2x+4）=0的解集為{-1，3}；
⑤函數 y=f（|x+1|）是偶函數．
其中正確的命題是（　　）

A．①②③

B．②④⑤

C．①③④

D．①②③④⑤

Answer 1

lim

x→1-

f（x）=

lim

x→1-

[（3a-1）x+5a]=8a-1，

lim

x→1+

f（x）=

lim

x→1+

loga x=0，
∵圖象是一條連續不斷的曲線，
∴8a-1=0，a=

1

8

，故①正確；
當圖象是一條連續不斷的曲線時，
a=

1

8

，f （x）在R上是減函數，故②不正確；
當a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時，1+a＞1，1-a＜1，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化為[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，
∵log_a （1+a）＜0，（3a-1）（1-a）+5a＞0恒成立
∴不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；
當a=

1

4

時，則方程f（x²+1）-f（2x+4）=0可化為：
log

1

4

 （x²+1）-log

1

4

 （2x+4）=0，（x≥-

3

2

），解得x=3，x=-1
或log

1

4

 （x²+1）+

1

4

x-

5

4

=0，（x＜-

3

2

），此時方程無解
綜上原方程的解集為{-1，3}；故④正確；
函數 y=f（|x+1|）是偶函數不成立．即⑤不正確．
故選C．