Question

已知等式：cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=acos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a．
（1）根據以上所給的等式寫出一個具有一般性的等式，并指出實數a的值；
（2）證明你所寫的等式．

Answer 1

分析：（1）將已知兩等式變形后，依此類推得到cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，利用特殊角的三角函數值化簡后求出a的值，歸納總結得到一般性的結論即可；
（2）找出的等式左邊利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到結果為

3

4

，得證．

解答：解：（1）∵cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=a，
cos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a，
∴cos²61°+sin²（61°-30°）+cos61°sin（61°-30°）=a，
cos²20°+sin²（20°-30°）+cos20°sin（20°-30°）=a
由此猜測有：cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，即得a=

3

4

，
則一般性結論為cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

；
（2）證明：cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）
=cos²α+（sinαcos30°-cosαsin30°）²+cosα（sinαcos30°-cosαsin30°）
=cos²α+

3

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

cos²α+

3

2

sinαcosα-

1

2

cos²α
=

3

4

（sin²α+cos²α）=

3

4

，
則cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．