Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量

m

=（2a-c，b）與向量

n

=（cosB，-cosC）互相垂直．
（1）求角B的大小；
（2）求函數y=2sin²C+cos（B-2C）的值域；
（3）若AB邊上的中線CO=2，動點P滿足

AP

=sin2θ•

AO

+cos2θ•

AC

(θ∈R)，求(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據垂直的兩個向量數量積為零，列出關系式并結合三角恒等變換化簡，得sinA（2cosB-1）=0，而sinA＞0，可得2cosB-1=0，即可解出角B的大小；
（2）將B=

π

3

代入函數關系式，利用二倍角三角函數公式和輔助角公式化簡得y=1+sin(2C-

π

6

)，根據C的范圍利用三角函數的圖象加以計算，可得所求函數值域；
（3）由向量的線性運算法則和sin²θ+cos²θ=1，化簡得

OP

=cos2θ•

OC

，所以點P是線段OC上的點，由此得到(

PA

+

PB

)•

PC

表示為以|

PO

|為自變量的二次函數式，利用二次函數的性質加以計算，可得所求最小值．

解答：解：（1）由題意，可得

m

•

n

=（2a-c）cosB-bcosC=0
根據正弦定理，得2sinAcosB-sinCcosB-sinBcosC=0，
即2sinAcosB-sinCcosB-sinBcosC=0，2sinAcosB-sin（B+C）=0
可得2sinAcosB-sinA=sinA（2cosB-1）=0
結合0＜A＜π，可得sinA＞0，
∴2cosB-1=0，得cosB=

1

2

，解之得B=

π

3

．
（2）∵B=

π

3

，
∴y=2sin2C+cos(B-2C)=2sin2C+cos(

π

3

-2C)
=1-cos2C+

1

2

cos2C+

3

2

sin2C=1-

1

2

cos2C+

3

2

sin2C=1+sin(2C-

π

6

)
∵0＜C＜

2π

3

，得-

π

6

＜2C-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2C-

π

6

)≤1，
由此可得：函數數y=2sin²C+cos（B-2C）值域為(

1

2

，2]．
（3）∵

AP

=sin2θ•

AO

+cos2θ•

AC

(θ∈R)，且sin²θ+cos²θ=1
∴

AP

-

AO

=(sin2θ-1)•

AO

+cos2θ•

AC

=cos2θ•(

AC

-

AO

)
可得

OP

=cos2θ•

OC

，
又∵cos²θ∈[0，1]，∴P在線段OC上
因此，(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

，設|

PO

|=t，t∈[0，2]，
可得(

PA

+

PB

)•

PC

=-2t（2-t）=2t²-4t=2（t-1）²-2
∴當t=1時，(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值等于-2．

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標形式，求角的大小并依此研究三角函數的值域．著重考查了向量的數量積公式及其運算性質、三角函數的圖象與性質、三角恒等變換公式和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．