Question

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：①f（x）在其定義域上是單調函數；②在f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是，最大值是．請解答以下問題：
（1）判斷函數g（x）=-x³是否屬于集合M？并說明理由，若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（2）若函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數g（x）=-x³的定義域為 R，g′（x）=-3x²≤0 （僅在x=0時取等號），
故函數g（x）在R上是減函數，故滿足條件①．
若g（x）∈M，當x∈[a，b]時，，即 ，解得 ，故滿足條件②的閉區間為[-，]．
由此可得，g（x）屬于集合M．
（2）函數h（x）的定義域是[1，+∞），當x＞1時，，故函數h（x）在[1，+∞）上是增函數，…
若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得，即，且，…
令，則y≥0，
于是關于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有兩個不等的實根，…
記u（y）=y²-2y+1-2t，∴，∴．…
分析：（1）函數g（x）的定義域為 R，利用導數求得函數g（x）在R上是減函數，故滿足條件①．若g（x）∈M，當x∈[a，b]時，，解得a、b的值，可得滿足條件②的閉區間存在，從而g（x）屬于集合M．
（2）利用導數可得函數h（x）在定義域[1，+∞）上是增函數．若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得，即，且．令，則y≥0，于是關于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有2個不等實根，利用二次函數的性質求得t的范圍．
點評：本題主要考查函數的定義域、單調性的應用，求函數的最值，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．