Question

設是已知的平面向量且，關于向量的分解，有如下四個命題：
①給定向量，總存在向量，使；
②給定向量和，總存在實數λ和μ，使；
③給定單位向量和正數μ，總存在單位向量和實數λ，使；
④給定正數λ和μ，總存在單位向量和單位向量，使；
上述命題中的向量，和在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：選項①由向量加減的幾何意義可得；選項②③均可由平面向量基本定理判斷其正確性；選項④λ和μ為正數，這就使得向量不一定能用兩個單位向量的組合表示出來．
解答：解：選項①，給定向量和，只需求得其向量差即為所求的向量，
故總存在向量，使，故①正確；
選項②，當向量，和在同一平面內且兩兩不共線時，向量，可作基底，
由平面向量基本定理可知結論成立，故可知②正確；
選項③，由題意必有和表示不共線且長度不定的向量，
由于μ為正數，故+不能把向量任意表示出來，故③錯誤；
選項④，因為λ和μ為正數，所以和代表與原向量同向的且有固定長度的向量，
這就使得向量不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，
故不一定能使成立，故④錯誤．
故選B
點評：本題考查命題真假的判斷與應用，涉及平面向量基本定理及其意義，屬基礎題．