Question

動圓D過定點A（0，2），圓心D在拋物線x²=4y上運動，MN為圓D在x軸上截得的弦．
（1）當圓心D在原點時，過拋物線的焦點F作直線l交圓D于B、C兩點，求△ABC的最大面積；
（2）當圓心D運動時，記|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

分析：（1）設直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，S=

1

2

|FA||x1-x2|=

4-( 1 1+k2 -2)2

≤

3

．由此知當且僅當k=0時，△ABC的最大面積為

3

．
（2）設圓心(a，

a2

4

)，則圓為(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．當y=0時，x=a±2，|MN|=4，令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，由此能求出

m

n

+

n

m

的最大值．

解答：解：（1）設直線BC為y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，
S=

1

2

|FA||x1-x2|
=

|x1-x2|

2

=

(x1+x2)2-4x1x2

2

=

4k2+3 (1+k2)2

=

4-( 1 1+k2 -2)2

≤

3

．
當且僅當k=0時，△ABC的最大面積為

3

．
（2）設圓心(a，

a2

4

)，則圓為(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(2-

a2

4

)2．
當y=0時，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m

n

+

n

m

=2(sinθ +cosθ+
=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
當θ=

π

4

時取得最大值．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．