Question

函數f（x）=2^2x-2^x+1+2的定義域為M，值域為[1，2]，給出下列結論：①M=[1，2]；  ②M=（-∞，1]；  ③M⊆（-∞，1]；  ④M?[-2，1]；  ⑤1∈M；  ⑥0∈M．其中一定成立的結論的序號是

③⑤⑥

．

Answer 1

分析：可先研究值域為[1，2]時函數的定義域，再研究使得值域為[1，2]的函數的最小的自變量的取值集合，研究函數值為1，2時對應的自變量的取值，由此即可判斷出正確結論的序號

解答：解：由于f（x）=2^2x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1∈[1，2]，
∴2^x-1∈[-1，1]，即2^x∈[0，2]
∴x∈（-∞，1]即函數f（x）=2^2x-2^x+1+2的定義域（-∞，1]；  
當函數的最小值為1時，僅有x=0，故 ⑥0∈M 正確，
當函數值為2時，僅有x=1滿足，故⑤1∈M正確
又必有M⊆（-∞，1]；  故③正確
當M=[0，1]時，此時函數的值域是[1，2]，故④M?[-2，1]與②M=（-∞，1]不一定正確；  
當x=2時，函數值為10，故 ①M=[1，2]不正確  
綜上，一定正確的結論的序號是③⑤⑥
故答案為③⑤⑥

點評：本小題主要考查函數的定義域及其求法、元素與集合關系的判斷、集合的包含關系判斷及應用等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題