Question

(經典回放)已知a，b，c∈(0，1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：假設三式同時大于， 　　即有(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞， 　　三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞． 　　又(1－a)a≤()2＝． 　　同理，(1－b)b≤，(1－c)c≤． 　　∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，與假設矛盾，結論正確． 　　證法二：假設三式同時大于， 　　∵0＜a＜1，∴1－a＞0， 　　． 　　同理都大于． 　　三式相加，得，矛盾． 　　∴原命題成立． 　　思路分析：“不能同時”包含情況較多，而其否定“同時大于”僅有一種情況，因此用反證法．

提示：

結論若是“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”或“……≠……”形式的不等式命題，往往可應用反證法，因此，可從這些語言上來判斷是否可用此方法證明．