Question

設函數f(x)=log4(4x+1)+ax（a∈R）
（Ⅰ）若函數f（x）是定義在R上的偶函數，求a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m對任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由偶函數的定義f（-x）=f（x）恒成立可求；
（Ⅱ）不等式f（x）+f（-x）≥mt+m對任意x∈R成立，等價于[f（x）+f（-x）]_min≥mt+m，利用基本不等式可求得[f（x）+f（-x）]_min，然后構造關于t的一次函數，利用一次函數的性質可求得m范圍．

解答：解：（Ⅰ）由函數f（x）是定義在R上的偶函數，得f（x）=f（-x）恒成立，
則log4(4x+1)+ax=log4(4-x+1)-ax，
∴2ax=log4

4-x+1

4x+1

=log4

1

4x

=-x，
∴（2a+1）x=0恒成立，則2a+1=0，故a=-

1

2

．
（Ⅱ）f(x)+f(-x)=log4(4x+1)+ax+log4(4-x+1)-ax=log4(4x+1)+log4(4-x+1)
=log4(4x+1)(4-x+1)=log4(2+4x+4-x)≥log4(2+2

4x×4-x

)=1．
當且僅當x=0時取等號，
∴mt+m≤1對任意t∈[-2，1]恒成立，
令h（t）=mt+m，
由

h(-2)=-2m+m≤1 h(1)=m+m≤1

，解得-1≤m≤

1

2

，
故實數m的取值范圍是[-1，

1

2

]．

點評：本題考查函數奇偶性的性質、函數恒成立問題，考查轉化思想，恒成立問題常轉化為函數最值解決．