Question

已知點P是圓O：x²+y²=3上動點，以點P為切點的切線與x軸相交于點Q，直線OP與直線x=1相交于點N，若動點M滿足：

NM

∥

OQ

，

QM

•

OQ

=0，記動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（2，0）的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A，B，設

AF

=λ

FB

，問在x軸上是否存在定點E，使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點M的坐標為（x，y），相應的點P的坐標為（x₀，y₀），進而可得直線PQ和OP的方程，求得Q和N的坐標，進而可x和y分別表示出x₀和y₀，代入圓方程即可得到曲線C的方程．
（2）設存在定點E（t，0）使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，設直線AB的方程為：x=my+2（m≠0），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）用A，B的坐標分別表示出

AF

和

FB

，代入

AF

=λ

FB

，可求得λ的表達式，代入

EA

-λ

EB

和

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)聯立方程消去x，利用韋達定理求得y₁+y₂和y₁y₂，代入（1）式進而求得t，確定E的坐標．

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），相應的點P的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=3，
直線PQ的方程為：x₀x+y₀y=3，所以點Q的坐標為(

3

x0

，0)，
直線OP的方程為：y=

y0

x0

x，所以點N的坐標為(1，

y0

x0

)，
因此：

x= 3 x0 y= y0 x0

，
即：

x0= 3 x y0= 3y x

，
所以曲線C的方程為：
(

3

x

)2+(

3y

x

)2=3，
即

x2

3

-

y2

1

=1；
（2）設存在定點E（t，0）使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，
設直線AB的方程為：x=my+2（m≠0），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

AF

=λ

FB

得到-y₁=λy₂，
即λ=-

y1

y2

，

EA

-λ

EB

=(x1-t-λx2+λt，  y1-λy2)，

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)得到：x1-t=λ(x2-t)?x1-t=-

y1

y2

(x2-t)，
即：（my₁+2-t）y₂+y₁（my₂+2-t）=0，
即2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0（1）
由方程組：

x=my+2 x2 3 -y2=1

得到：（my+2）²-3y²=3，
即（m²-3）y²+4my+1=0，
所以：m²-3≠0，且y1+y2=

-4m

m2-3

，y1y2=

1

m2-3

，
代入（1）式得到：

2m

m2-3

+

(t-2)4m

m2-3

=0，
要對滿足（m≠0）且m²-3≠0的實數m恒成立，
只需要2+（t-2）×4=0，即t=

3

2

，
所以存在定點E(

3

2

，0)使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和雙曲線與直線的綜合問題．當求直線與雙曲線的關系時常需要聯立方程消元后根據韋達定理找到解決問題的突破口．