Question

（2012•大連二模）任選一題作答選修：幾何證明選講如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
（I）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；
（Ⅱ）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接OD． 設⊙O的半徑為r，根據切線的性質及∠C=90°，可得OD∥AC，進而△OBD∽△ABC，進而根據相似三角形對應邊成比例，構造關于r的方程，可得答案．
（II）由四邊形BDEF是平行四邊形，可證得OD=OE=DE=OF，進而根據菱形的判定定理，得到四邊形OFDE為菱形．

解答：解：（Ⅰ）連接OD． 設⊙O的半徑為r．
∵BC切⊙O于點D，
∴OD⊥BC．
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴

OD

AC

=

OB

AB

，即 

r

6

=

10-r

10

．  
解得r=

15

4

，
∴⊙O的半徑為

15

4

． …（4分）
（Ⅱ）結論：四邊形OFDE是菱形． 理由如下 …（5分）
證明：∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠B．
∵∠DEF=

1

2

∠DOB，
∴∠B=

1

2

∠DOB．
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=

3

2

∠DOB=90°，
∴∠DOB=60°．
∵在平行四邊形BDEF中，DE∥AB，
∴∠ODE=∠DOB=60°．
∵半徑OD=OE，
∴△ODE是等邊三角形．
∴OD=DE=OF，
即四邊形OFDE的對邊DE與OF平行且相等
∴四邊形OFDE是平行四邊形．
又∵鄰邊OE=OF，
∴平行四邊形OFDE是菱形． …（10分）

點評：本題考查的知識點是切線的性質，三角形相似的判定與性質，平行四邊形的性質與判定，難度不大，屬于基礎題．