Question

P、Q是拋物線y=x²上頂點以外的兩點，O為坐標原點．∠POQ=，直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線．（Ⅰ）則l₁、l₂的交點M點的軌跡方程是    ；（Ⅱ）若l₁、l₂分別交x軸于A、B兩點，則過△ABM的垂心與點的直線方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設出M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據．∠POQ=，得到含M，P，Q三點坐標的關系式，再因為直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線，所以直線l₁、l₂的斜率分別是拋物線在P，Q兩點處的導數，再求出直線l₁、l₂的方程，聯立解出交點坐標，把得到的式子與前面得到的式子聯立化簡，就可得到M點的軌跡方程．
（Ⅱ）先求邊BM上的高所在直線，其過點A，且斜率為，再與AB邊上的高x= 聯立即可得垂心的縱坐標，最后兩點所在直線方程為一條垂直于y軸的直線
解答：解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）
∵∠POQ=
∴==      ①
∵直線l₁、l₂分別是過P、Q兩點拋物線的切線，y=x²，y′=2x
∴直線l₁的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
直線l₂的方程為y-x₂²=2x₂（x-x₂）
∴l₁、l₂的交點
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4x²-2y，y₁²+y₂²=x₁⁴+x₂⁴=（x₁²+x₂²）²-2x₁²x₂²=（4x²-2y）²-2y²   ②
將②代入①得
=
化簡得4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
故答案為4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
（Ⅱ）由（I）得，A（，0），B（，0）
過點A，且與l₂垂直的直線方程為y=（x-）     ③
過點M，且與AB垂直的直線方程為x=          ④
將④代入③得△ABM的垂心縱坐標y=-
∴過△ABM的垂心與點的直線方程是y=-
故答案為y=-
點評：本題考察了直線與拋物線的位置關系，參數法求點的軌跡方程，利用導數的幾何意義寫出切線方程，恰當的引入參數，并能巧妙地消去參數得軌跡方程是解決本題的關鍵