Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．

(1)求證：A、C、T三點共線；
(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標．

Answer 1

（1）見解析（2）橢圓方程為＋y²＝1.P點坐標為

(1)證明：設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)①，則A(0，b)，B(0，－b)，T.
AT：＝1②，BF：＝1③，解得交點C，代入①得
＝＝1，滿足①式，則C點在橢圓上，即A、C、T
三點共線．
(2)解：過C作CE⊥x軸，垂足為E，則△OBF∽△ECF.
∵＝3，CE＝b，EF＝c，則C，代入①得＝1，∴a²＝2c²，b²＝c².設P(x₀，y₀)，則x₀＋2＝2c².此時C，AC＝c，S_△ABC＝·2c·＝c²，
直線AC的方程為x＋2y－2c＝0，P到直線AC的距離為d＝，
S_△APC＝d·AC＝··c＝·c.只須求x₀＋2y₀的最大值，
(解法1)∵(x₀＋2y₀)²＝＋4＋2·2x₀y₀≤＋4＋2(＋)＝3(＋2)＝6c²，∴x₀＋2y₀≤c.當且僅當x₀＝y₀＝c時，(x₀＋2y₀)_max＝c.
(解法2)令x₀＋2y₀＝t，代入＋2＝2c²得(t－2y₀)²＋2－2c²＝0，即6－4ty₀＋t²－2c²＝0.Δ＝(－4t)²－24(t²－2c²)≥0，得t≤c.當t＝c，代入原方程解得x₀＝y₀＝c.
∴四邊形的面積最大值為c²＋c²＝c²＝，∴c²＝1，a²＝2，b²＝1，此時橢圓方程為＋y²＝1.P點坐標為.