Question

已知定點A（0，0），動點B滿足|

AB

|=5，線段AB與圓：x²+y²=9交于點P，過點B作直線l垂直于x軸，過點P作PQ⊥l，垂足為Q．
（Ⅰ）求動點B的軌跡方程；
（Ⅱ）求點Q的軌跡方程；
（III）過點A作直線m，與點Q的軌跡交于M、N兩點，C為點Q的軌跡上不同于M、N的任意一點，問k_CM•k_CN是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為“動點B滿足|

AB

|=5，”利用軌跡方程的直接法即可求得；
（2）利用Q點與點A，B之間的關系得到其坐標關于參數θ的關系式，消去θ即可得點Q的軌跡方程；
（3）利用直線的斜率公式，先將“k_CM•k_CN”表示成M（x₀，y₀）中坐標的函數式，結合橢圓條件化簡即得．

解答：解：（1）根據題意動點B的軌跡方程是x²+y²=25（2分）
（2）設Q（x，y），B（5cosθ，5sinθ），P（3cosθ，3sinθ），（4分）
根據題意有

x=5cosθ y=3sinθ

（6分）
點Q的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1（8分）
（3）設C（x，y），由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1是中心對稱圖形，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）kCM=

y-y0

x-x0

，kCN=

y+y0

x+x0

，（10分）kCM•kCN=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

（11分）
又點M、C都在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，
所以

x2 25 + y2 9 =1 x 2 0 25 + y 2 0 9 =1

?

x2- x 2 0

25

+

y2- y 2 0

9

=0，

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

9

25

即kCM•kCN=-

9

25

是一個定值．（14分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．