Question

已知(1+x+x2)(x+

1

x3

)n的展開式中沒有常數項，n∈N^*，2≤n≤8，則n=

 

．

Answer 1

分析：先將問題轉化成二項式的展開式中沒有常數項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為0得常數項．轉化成方程無解．

解答：解：依題(x+

1

x3

)n對n∈N^*，2≤n≤8中，展開式中沒有常數項
∴(x+

1

x3

)n不含常數項，不含x^-1項，不含x^-2項
(x+

1

x3

)n展開式的通項為T_r+1=C_n^rx^n-rx^-3r=C_n^rx^n-4r
據題意知

n-4r=0 n-4r=-1 n-4r=-2

當n∈N^*，2≤n≤8時無解
通過檢驗n=5
故答案為5

點評：本題考查數學中的等價轉化的能力和利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項．