Question

若Rt△ABC中兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，則

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

，如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC，PO為棱錐的高，記M=

1

PO2

，N=

1

PA2

+

1

PB2

+

1

PC2

，那么M、N的大小關系是

 

．

Answer 1

分析：由題意Rt△ABC中兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，由等面積法得ch=ab，c²•h²=a²•b²，然后再利用等體積法進行比較．

解答：解：在Rt△ABC中，c²=a²+b²①，由等面積法得ch=ab，
∴c²•h²=a²•b²②，①÷②整理得

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

．
類比得，S_△ABC²=S_△PAB²+S_△PBC²+S_△PAC²①，
由等體積法得S△ABC•PO=

1

2

PA•PB•PC，
∴

S

2 △ABC

•PO2=

1

4

PA2•PB2•PC2②，
①÷②整理得M=N．
故答案為：M=N．

點評：此題考查直角三角形的性質及等面積法和等體積法的應用，是一道基礎題．