Question

假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

試求：
（1）對(duì)x與y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)；
（2）如果y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；（其中

a

和

b

均保留兩位小數(shù)）
（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少萬(wàn)元？（保留兩位小數(shù)）
（參考公式與數(shù)據(jù)：r=

n i=1 xiyi-n . x . y

( n i=1 x 2 i -n . x 2)( n i=1 y 2 i -n . y 2)

，

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

=

b

.

x

，

5

i=1

 

x

2 i

=90，

5

i=1

y

2 i

=140.8，

.

x

=4，

.

y

=5，

5

i=1

xiyi=1123，

79

≈8.9，

2

≈1.4，n-2=3時(shí)，r_0.05=0.878）

Answer 1

分析：（1）對(duì)x與y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)可做統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系求出r的值，再判斷線性相關(guān)關(guān)系；
（2）做出利用最小二乘法所用的幾個(gè)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（3）給出自變量的值，把它代入線性回歸方程，求出y的值，這里得到的不是y的準(zhǔn)確數(shù)值，而是一個(gè)估計(jì)值，一個(gè)預(yù)報(bào)值

解答：解：（1）做統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系

5

i=1

xiyi-5

.

x

.

y

=112.3-5×4×5=12.3   

5

i=1

xi 2-5

.

x

2=90-5×42=10

5

i=1

yi 2-5

.

y

2=140.8-125=15.8     r=

12.3

10×15.8

≈0.987
|r|=0.987＞0.878，所以有95%的把握認(rèn)為“x與y具有線性相關(guān)關(guān)系”．
（2）∵

5

i=1

xi2=4+9+16+25+36=90 
且

.

x

=4，

.

y

=5，n=5，
∴

?

b

=

112.3-5×4×5

90-5×16

=

12.3

10

=1.23

?

a

=5-1.23×4=0.08
∴回歸直線為y=1.23x+0.08．
（3）當(dāng)x=10時(shí)，y=1.23×10+0.08=12.38，
所以估計(jì)當(dāng)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約為12.38萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法時(shí)，不要把數(shù)據(jù)運(yùn)算出錯(cuò)，其他的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該沒有問題．