Question

如圖所示,AB為☉O直徑,直線CD與☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明:

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF²=AD·BC.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

證明:(1)由直線CD與☉O相切,

得∠CEB=∠EAB.

由AB為☉O的直徑,

得AE⊥EB,

從而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB,得

∠FEB+∠EBF=,

從而∠FEB=∠EAB.

故∠FEB=∠CEB.

(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,

∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,

得Rt△BCE≌Rt△BFE,

所以BC=BF.

類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,

得AD=AF.

又在Rt△AEB中,EF⊥AB,

故EF²=AF·BF,

所以EF²=AD·BC.