Question

（本小題滿分14分）
設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。
（Ⅰ）求數列與數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）不存在正整數，使得成立，理由見解析。
（Ⅲ）證明見解析。

（Ⅰ）當時，
又

∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，……………………………3分
（II）不存在正整數，使得成立。
證明：由（I）知

∴當n為偶數時，設
∴
當n為奇數時，設
∴
∴對于一切的正整數n，都有
∴不存在正整數，使得成立。………………………………8分
（III）由得
又，
當時，，
當時，
 …………………14分