Question

(本小題滿分14分)已知， 且，記在內(nèi)零點(diǎn)為.

（1）求當(dāng)取得極大值時(shí)，與的夾角θ.

（2）求的解集.

（3）求當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)的值，并指出向量與的位置關(guān)系.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）的解集為；

（3）是在內(nèi)的極小值點(diǎn).且為唯一極值，即為最小值.此時(shí)

 。

【解析】

試題分析：（1）先求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值，求解得到

（2）知是在內(nèi)的極大值點(diǎn).

且.從而得到到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)滿足的x的范圍，得到證明。

(3)構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)得到最值。

解（1）：，

，則單調(diào)遞增；

當(dāng)，則單調(diào)遞減.

是在內(nèi)的極大值點(diǎn)   ……4分

此時(shí)

             ……6分

（2）由（1）知是在內(nèi)的極大值點(diǎn).

且.

時(shí)，且，得 

時(shí)，，即的解集為   ……9分

（3）令

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313230783962408/SYS201301131324374333554772_DA.files/image024.png">                    ……10分

，得，則單調(diào)遞減；

當(dāng)，得，則單調(diào)遞增.

是在內(nèi)的極小值點(diǎn).且為唯一極值，即為最小值. ……13分

此時(shí)，即             ……14分

考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解最值和向量數(shù)量積的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用已知中導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，進(jìn)而求解極值，同時(shí)得到向量的夾角的求解運(yùn)用。而構(gòu)造函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，分析單調(diào)性得到最值，使我們解決導(dǎo)數(shù)問題中常見的比較重要的題型之一。