Question

已知函數f（x）=e^x，g（x）=lnx
（1）若曲線h（x）=f（x）+ax²-ex（a∈R）在點（1，h（1））處的切線垂直于y軸，求函數h（x）的單調區間；
（2）若函數F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在區間（0，2）上無極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把f（x）代入曲線h（x），求h（x）的導函數，讓導函數在x=1時的函數值為0，求解a的值，把a值代回原函數，由h^′（x）大于0和小于0分別求函數的單調區間；
（2）函數F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在區間（0，2）上無極值，說明函數F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在區間（0，2）上是單調函數，把函數F（x）求導后根據a的符號不同對a進行分類討論，以保證導函數在區間（0，2）上大于0或小于0恒成立，從而求出a的具體范圍．

解答：解：（1）∵h（x）=f（x）+ax²-ex=e^x+ax²-ex
∴h^′（x）=e^x+2ax-e，
又∵曲線h（x）在點（1，h（1））處的切線垂直于y軸
∴k=h^′（1）=2a，
由k=2a=0得a=0，
∴h（x）=e^x-ex∴h^′（x）=e^x-e，
令h^′（x）=e^x-e＞0得x＞1，
令h^′（x）=e^x-e＜0得x＜1，
∴故h（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（-∞，1）．
（2）∵F(x)=1-

a

x

-g(x)=1-

a

x

-lnx(x＞0)
∴F′(x)=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

①當a≤0時，在區間（0，2）上F′(x)=

a-x

x2

＜0恒成立，即函數F（x）在區間（0，2）上單調遞減，故函數F（x）在區間（0，2）上無極值； 
②當a＞0時，令F′(x)=

a-x

x2

=0得：x=a，
當x變化時，F^′（x）和F（x）的變化情況如下表

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	單調遞增↗	極大值	單調遞減↘

∴函數F（x）在x=a處有極大值，
∴要使函數F（x）在區間（0，2）上無極值，只需a≥2，
綜上①②所述，實數a的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．