Question

已知直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各條棱長均為3，∠BAD=60°．長為2的線段MN的一個端點M在DD₁上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則線段MN的中點P的軌跡（曲面）與共一個頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為

 

．

Answer 1

分析：確定P的軌跡以點D為球心，半徑r=1的球，求出球的體積，說明P的軌跡（曲面）與共一個頂點D的三個面所圍成的幾何體的形狀，求出它的體積．

解答：解：|MN|=2，則|DP|=1，則點P軌跡是以點D為球心，半徑r=1的球，
則球的體積為V=

4

3

π•r3=

4π

3

，
∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°=

1

3

•360°，
只取半球的

1

3

，則V=

4

3

π•

1

3

•

1

2

=

2π

9

.；
故答案為

2π

9

．

點評：本題考查組合體的體積，考查計算能力，空間想象能力，是創新題型．