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已知函數，函數.

（1）當時，求函數f(x)的最小值；

（2）設函數h(x)=(1－x)f(x)+16，試根據m的取值分析函數h(x)的圖象與函數g(x)的圖象交點的個數.

(1) x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0.

（2）當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.


解析:

(1) 方法一：  ∵ x>1 ,  ，

    當且僅當x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0；

   方法二：∵ x>1，

當且僅當即x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0.

方法三：求導（略）  ……………………………………4分

（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=

設 F(x)=g(x)－h(x)=   (且)，則

，……………………………6分

令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F（3）＝6ln3－15+m

根據導數的符號及函數的單調情況、取極值的情況作出的草圖如下：………………11分

由此可得：

當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）求證：函數f（x）=x+
a
x
是奇函數；
（2）已知函數g（x）=x+
1
x
在區間（0，1）上是單調減函數，在區間（1，+∞）上是單調增函數；函數g（x）=x+
4
x
在區間（0，2）上是單調減函數，在區間（2，+∞）上是單調增函數；猜想出函數g（x）=x+
b2
x
，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調區間；
（3）指出函數h（x）=x+
8
x
，x∈（-∞，0）在什么時候取最大值，最大值是多少．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，周期為5，函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5，
（1）求f（1）+f（4）的值；
（2）求y=f（x），x∈[1，4]上的解析式；
（3）求y=f（x）在[4，9]上的解析式，并求函數y=f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-2x，g（x）=x2-2x，x∈[2，4]
（1）求f（x），g（x）函數的值域；
（2）函數H（x）=f（x-c）+g（x+c）定義域為[8，10]，求c．
（3）函數H（x）=f（x-c）+g（x+c）（c≤0）的最大值為32，求c的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應值如表格所示，f′（x）為f（x）．的導函數，函數y=f′（x）的圖象如右圖所示：
x -2 0 4
f（x） 1 -1 1
若兩正數a，b滿足f(a+2b)＜1，則
b-4
a+4
的取值范圍是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為R，則下列命題中：?
①若f（x-2）是偶函數，則函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；?②若f（x+2）=-f（x-2），則函數f（x）的圖象關于原點對稱；?③函數y=f（2+x）與函數y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；?④函數y=f（x-2）與函數y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．?
其中正確的命題序號是
④
④
．?

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