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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F（c，0）是它的右焦點，經過坐標原點O的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且
FA
•
FB
=0，|
OA
-
OB
|=2|
OA
-
OF
|，則橢圓的離心率為（　　）
A、
2
B、
3
C、
2
-1
D、
3
-1
分析：先由題意知：O是AB的中點，三角形ABF是直角三角形，再結合向量條件，得出△FAO為等邊三角形，從而△AFF1為直角三角形（F1為橢圓的左焦點），最后在Rt△AFF1中，利用邊之間的關系結合橢圓的定義得到a，c的關系，從而求得橢圓的離心率．
解答：解：由題意知：O是AB的中點，三角形ABF是直角三角形，
|
OA
-
OB
|=2|
OA
-
OF
|⇒|
OA
|=|
AF
|
△FAO為等邊三角形，
故△AFF1為直角三角形（F1為橢圓的左焦點）
在Rt△AFF1中，AF=c，FF1=2c，∴AF1=
3
c
∵AF+AF1=2a，∴c+
3
c=2a，
則橢圓的離心率為
c
a
=
2
1+
3
=
3
-1
故選D．
點評：本題主要考查橢圓離心率的求法．在橢圓中一定要熟練掌握a，b，c之間的關系、離心率、準線方程等基本性質．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•房山區二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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