Question

在棱長為1米的正四面體ABCD中，有一小蟲從頂點A處開始按以下規則爬行，在每一頂點處以同樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一，并一直爬到這條棱的盡頭．記小蟲爬了n米后重新回到點A的概率為P_n．則P₄=

7

27

．

Answer 1

分析：設這個四面體的四個頂點分別為ABCD，如果爬到第三次時，螞蟻在A點，第四次一定不在A點，設螞蟻第三次在A點的概率為X，那么最后的答案就是

1-X

3

，以此類推螞蟻第一次爬完之后在A點的概率為0，得到結果．

解答：解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，
假設這個四面體的四個頂點分別為ABCD，小蟲從A開始爬．
如果爬到第三次時，小蟲在A點，那么第四次就一定不在A點，
∴設小蟲第三次在A點的概率為X，那么最后的答案就是

1-X

3

①
設小蟲第二次在A點的概率為Y，那么最后的概率就是X=

1-Y

3

②
顯然小蟲第一次爬完之后在A點的概率為0，那么 Y=

1-0

3

③
將③代入②，得X=

1- 1 3

3

=

2

9

④
將④代入①得P=

1- 2 9

3

=

7

27

故答案為：

7

27

點評：本題考查等可能事件的概率，考查用方程思想解決概率的實際問題，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．