Question

已知⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0．
（1）若⊙C的切線在x軸、y軸上截距相等，求切線的方程．
（2）從圓外一點P（x₀，y₀）向圓引切線PM，M為切點，O為原點，若|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P點坐標．

Answer 1

分析：將圓C的方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑，
（1）分兩種情況：當切線過原點時設為y=kx，由圓心到切線的距離等于圓的半徑列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值；當切線不過原點時，設為x+y=a，同理求出a的值，即可確定出切線方程；
（2）根據|PM|=|PO|，利用兩點間的距離公式列出關系式，得到x₀與y₀的關系式，用y₀表示出x₀，代入|PM|中，利用二次函數的性質求出|PM|最小時y₀的值，進而確定出x₀的值，即可確定出此時P的坐標．

解答：解：⊙C：（x+1）²+（y-2）²=4，圓心C（-1，2），半徑r=2，
（1）若切線過原點設為y=kx，則

|-k-2|

1+k2

=2，
解得：k=0或

4

3

，
若切線不過原點，設為x+y=a，則

|-1+2-a|

2

=2，
解得：a=1±2

2

，
則切線方程為：y=0，y=

4

3

x，x+y=1+2

2

和x+y=1-2

2

；
（2）∵|PM|=|PO|，即

x02+y02+2x0-4y0+1

=

x02+y02

，
∴2x₀-4y₀+1=0，
對于|PM|=

x02+y02+2x0-4y0+1

=

5y02-2y0+ 1 4

，
∵P在⊙C外，
∴（x₀ +1）²+（y₀-2）²＞4，
將x₀=2y₀-

1

2

代入得5y₀²-2y₀+

1

4

＞0，
∴當y₀=

1

5

時，5y₀²-2y₀+

1

4

最小，此時|PM|最小，x₀=2y₀-

1

2

=-

1

10

，
∴|PM|min=

1

20

，此時P（-

1

10

，

1

5

）．

點評：此題考查了圓的切線方程，圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．