Question

已知：在數列{a_n}中，a₁=，a_n+1=a_n+．
（1）令b_n=4ⁿa_n，求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）若S_n為數列{a_n}的前n項的和，S_n+λna_n≥對任意n∈N^*恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=a_n+，
得4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．
所以b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2．
故數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
（2）因為數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
所以b_n=1+2（n-1）=2n-1．
因為b_n=4ⁿa_n，
所以a_n=．
則S_n=+++…++．
又S_n=+++…++．
所以S_n=+2（+++…+）-
=+2×-．
所以S_n=-×-×．
因為S_n+λna_n≥對任意n∈N^*恒成立，
所以-×-×+λ×≥對任意n∈N^*恒成立．
即λ≥×+對任意n∈N^*恒成立
因為n≥1，2n-1≥1，
所以×≤，當且僅當n=1時取等號．
又因為≤，當且僅當n=1時取等號．
所以×+≤，當且僅當n=1時取等號
所以λ≥，所以λ的最小值為．
分析：（1）由題設條件知4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．所以b_n+1=b_n+2，所以數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
（2）由題設條件知b_n=1+2（n-1）=2n-1．再由b_n=4ⁿa_n，知a_n=．再由錯位相減法可求出S_n=-×-×．然后根據S_n+λna_n≥對任意n∈N^*恒成立，可求出實數λ的最小值．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意錯位相減法的靈活運用，認真審題，仔細解答．