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如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1．
（I）若G為△ABC的重心，
A1M
=3
MG
，設
AB
=a，
AD
=b，
AA1
=c，用向量a、b、c表示向量
A1M
；
（II）若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點，AC1∩BD1=O，求證；OE⊥平面ABC1D1．
分析：（I）利用向量加法的三角形法則及重心的性質，將
AG
用基底表示，再在三角形A1AG中，將
A1M
用基底表示；
（II）連接C1E，AE，由已知證明△C1EA為等腰三角形，從而OE⊥AC1，同理可證明OE⊥BD1，最后由線面垂直的判定定理證明結論
解答：解：（I）依題意，
A1M
=
3
4
A1G
=
3
4
(
A1A
+
AG
)
∵G為△ABC的重心，
∴
AG
=
2
3
×
1
2
(
AB
+
AC
)=
1
3
(
AB
+
AC
)
又∵
AC
=
AB
+
AD

∴
A1M
=
3
4
[
A1A
+
1
3
(
AB
+
AB
+
AD
)]
=
3
4
A1A
+
1
2
AB
+
1
4
AD

=
1
2
a
+
1
4
b
-
3
4
c

（II）證明：連接C1E，AE，
∵平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1
∴C1E=AE，
∴△C1EA為等腰三角形
∵O為AC1的中點，
∴OE⊥AC1
同理可證 OE⊥BD1
∵AC1∩BD1=O，
∴OE⊥平面ABC1D1．
點評：本題考查了空間向量的基本定理及其應用，向量加法的三角形法則，重心的性質及線面垂直的判定定理
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體OABC-O1A1B1C1，點G是上底面O1A1B1C1的中心，且
OA
=
a
，
OC
=
b
，
OO1
=
c
，則用
a
，
b
，
c
表示向量
OG
為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1（底面是平行四邊形的四棱柱）
①求證：平面AB1D1∥平面BDC1；
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD的中點，AC1∩BD1=0，求證：OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若點E，F分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點F在何處時，EF⊥AD．

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