Question

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點(diǎn) 為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點(diǎn)，且滿足：.

（1）試用 表示 ；

（2）求 的最大值；

（3）若 ，求 的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）離心率的最大值為；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，聯(lián)立橢圓與直線的方程，消去得到，應(yīng)用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后計(jì)算得，將其代入化簡(jiǎn)即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），結(jié)合，化簡(jiǎn)求解即可得出的最大值；（3）利用與先求出的取值范圍，最后根據(jù)（1）中，求出的取值范圍即可.

試題解析：（1）聯(lián)立方程消去，化簡(jiǎn)得 1分

設(shè)，則有， 3分

∵

∴ 5分

∴即 6分

（2）由（1）知∴，∴ 8分

∴ ∴離心率的最大值為 10分

(3)∵ ∴ ∴ 12分

解得 ∴即

∴的取值范圍是 14分.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.