Question

設a∈R,函數f(x)=3x³-4x+a+1.

(1)求f(x)的單調區間;

(2)若對于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;

(3)若方程f(x)=0存在三個相異的實數根,求a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f(x)的導數f′(x)=9x²-4.令f′(x)＞0,解得x＞或x＜;

令f′(x)＜0,解得＜x＜.從而f(x)的單調遞增區間為(-∞,),(,+∞);

單調遞減區間為(,).

(2)由f(x)≤0,得-a≥3x³-4x+1.

由(1)得,函數y=3x³-4x+1在(-2,)內單調遞增,在(,0)內單調遞減,

從而當x=時,函數y=3x³-4x+1取得最大值.

因為對于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,故-a≥,即a≤-,

從而a的最大值是-.

(3)當x變化時,f(x),f′(x)變化情況如下表:

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值a+	↘	極小值a	↗

①由f(x)的單調性,當極大值a+＜0或極小值a＞0時,方程f(x)=0最多有一個實數根;

②當a=時,解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有兩個相異的實數根;

③當a=時,解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有兩個相異的實數根.

如果方程f(x)=0存在三個相異的實數根,

則解得a∈(,).

事實上,當a∈(,)時,

∵f(-2)=-15+a＜-15+＜0,且f(2)=17+a＞17＞0,

∴方程f(x)=0在(-2,),(,),(,2)內各有一根.

綜上,若方程f(x)=0存在三個相異的實數根,則a的取值范圍是(,).