Question

已知函數f(x)=loga

x-5

x+5

， (a＞0且a≠1)．
（I）  判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（II） 設g（x）=1+log_a（x-3），若方程f（x）=g（x）有實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）  先求出函數的定義域，然后利用函數的奇偶性的定義判斷f（x）的奇偶性即可；
（II）通過g（x）=1+log_a（x-3），求出方程f（x）=g（x）的表達式，利用方程有實根，求出函數的定義域；
法一：求出方程中a的表達式，通過變形，利用基本不等式求出a的取值范圍．
法二：轉化方程為二次函數，通過二次方程根的分布，求出a取值范圍．

解答：解：（I）由

x-5

x+5

＞0
所以函數的定義域為：（-∞，-5）∪（5，+∞）．…（2分）
又f(-x)=loga

-x-5

-x+5

=loga

x+5

x-5

=-loga

x-5

x+5

=-f(x)，
∴f（x）是奇函數．…（6分）
（II）若f（x）=g（x）有實根，即：loga

x-5

x+5

=1+loga(x-3)有實根．
∴

x-5 x+5 ＞0 x-3＞0

  ⇒x＞5．
∴即方程

x-5

x+5

=a(x-3)有大于5的實根…（10分）
（法1）a=

x-5

(x-3)(x+5)

=

(x-5)

(x-5+2)(x-5+10)

（∵x＞5）
=

x-5

(x-5)2+12(x-5)+20

=

1

(x-5)+ 20 (x-5) +12

≤

1

12+2 20

=

3- 5

16

∴a∈(0，

3- 5

16

]．…（16分）
（法2）（實根分布）

x-5

x+5

=a(x-3)（1）有大于5的實根，
方程（1）化為：ax²+（2a-1）x-15a+5=0．
∵a＞0，∴△=64a²-24a+1≥0．
①有一根大于5，f（5）＜0⇒a∈?．
②兩根均大于5，

△≥0 f(5)＞0 1-2a 2a ＞5

    ⇒a∈(0，

3- 5

16

]．…（16分）

點評：本題是中檔題，考查函數的奇偶性的判斷，注意函數的定義域；函數的零點與方程的根的關系，考查計算能力，轉化思想的應用．一定注意函數的定義域首先考慮的原則．