Question

已知函數．
（Ⅰ）當時，求的單調區間；
（Ⅱ）設函數在點處的切線為，直線與軸相交于點.若點的縱坐標恒小于1，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞減區間為，單調遞增區間為（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）當時，，，            1分
所以，當時，；當時，；              3分
所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．              4分
（Ⅱ）因為，
所以處切線的斜率，
所以切線的方程為，
令，得 .                                     5分
當時，要使得點的縱坐標恒小于1，
只需，即.                     6分
令，
則，                                                      7分
因為，所以，
①若即時，，
所以，當時，，即在上單調遞增，
所以恒成立，所以滿足題意.                            8分
②若即時，，
所以，當時，，即在上單調遞減，
所以，所以不滿足題意.                                9分
③若即時，.
則、、的關系如下表：

		0
	遞減	極小值	遞增

所以，所以不滿足題意.                    11分
綜合①②③，可得，當時，時，
此時點的縱坐標恒小于1.                                                  12分
點評：導數是研究函數性質的有力工具，求解函數單調性、極值、最值時，不要漏掉函數的定義域，另外，一般含參數的問題離不開分類討論，分類討論時要做到分類標準不重不漏.