Question

如圖，△ABC內接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC平面ABC ,，已知AE與平面ABC所成的角為,且．

   （1）證明：平面ACD平面；

   （2）記，表示三棱錐A－CBE的體積，求的表達式；

   （3）當取得最大值時，求二面角D－AB－C的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析。

（2）

（3）60°

【解析】（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形  ∴，---------1分

∵ DC平面ABC ,平面ABC   ∴． ----------2分

∵AB是圓O的直徑  ∴且     

∴平面ADC．  ∵DE//BC   ∴平面ADC -------------3分

又∵平面ADE   ∴平面ACD平面----------------4分

   （2）∵ DC平面ABC    ∴平面ABC[來源:學_科_網]

∴為AE與平面ABC所成的角，即＝-------------------5分

在Rｔ△ABE中，由,得------------6分

在Rｔ△ABC中 ∵（）

∴-----------------7分

∴（）----8分

   （3）由（2）知

要取得最大值，當且僅當取得最大值，

∵---------------------------------------9分

當且僅當，即時，“＝”成立，

∴當取得最大值時,這時△ACB為等腰直角三角形----------10分

解法1：連結CO，DO

∵AC=BC,DC=DC

∴≌   ∴AD=DB  

又∵O為AB的中點  ∴

∴為二面角D－AB－C的平面角------------11分

在中    ∵,

∴,  ∴=

即當取得最大值時，二面角D－AB－C為60°．---------12分

解法2：以點O為坐標原定，OB為x軸建立空間直角坐標系如圖示：

則B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1,)，        ∴,

平面ABC的法向量，-------11分

設平面ABD的法向量為

由得

令，則 ∴----12分

設二面角D－AB－C的大小為，則

∴,即二面角D－AB－C的大小為60°．---------12分