Question

已知f(x)=log4(4+

4x

1+x2

)，x∈R，定義[x]表示不超過x的最大整數，則函數y=[f（x）]的值域是

{0，1}

．

Answer 1

分析：利用基本不等式求得 2≤4+

4x

1+x2

≤6，可得 log₄2≤log4(4+

4x

1+x2

)≤log₄6，由此求得f（x）的值域，從而求得函數y=[f（x）]的值域．

解答：解：由于當x＞0時，利用基本不等式可得4+

4x

1+x2

≤6．
當x=0時，4+

4x

1+x2

=4．
當x＜0時，由于

-4x

1+x2

≤2，故 4+

4x

1+x2

=4-

-4x

1+x2

≥4-2．
綜上可得，2≤4+

4x

1+x2

≤6，∴log₄2≤log4(4+

4x

1+x2

)≤log₄6．
而log₄2∈（0，1），log₄6∈（1，2），
故[log4(4+

4x

1+x2

)]=0 或 1，即函數y=[f（x）]的值域是 {0，1}，
故答案為 {0，1}．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質、以及基本不等式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．