Question

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓的方程；
（2）設直線ax-y+5=0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設圓心為M（m，0），m∈z，根據圓與直線4x+3y-29=0相切，可得

|4m+0-29|

16+9

=5，求得m的值，可得所求的圓的方程．
（2）把直線ax-y+5=0（a＞0）代入圓的方程可得 （a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．再由△＞0，求得a的范圍．

解答：解：（1）設圓心為M（m，0），m∈z，根據圓與直線4x+3y-29=0相切，
可得

|4m+0-29|

16+9

=5，即|4m-29|=25，再根據m為整數求得m=1．
故所求的圓的方程為 （x-1）²+y²=25．
（2）把直線ax-y+5=0（a＞0）代入圓的方程可得 （a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．
由于直線ax-y+5=0和圓相交于A，B兩點，可得△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即 12a²-5a＞0，求得a＞

5

12

，故a的范圍為（

5

12

，+∞）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．