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設拋物線y2＝2px(p＞ 0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點.點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線 AC經過原點O.

思路解析：本題的解法很多，采用坐標方法進行代數推理，可以證明OA與OC的斜率相等，證明AO+OC=AC，證明OC與BF的交點A在拋物線上，證明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每種證明又有不同的表述形式，甚至可以用參數方程法，采用平面幾何方法進行推理.

證法一：如圖所示，

因為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F（，0），所以經過點F的直線AB的方程可設為x=my+，代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0.

若記A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個根，所以y1y2=-p2.

因為BC∥x軸，且點C在準線x=-上，所以點C的坐標為（-，y2）.

故直線CO的斜率為

k===,

即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經過原點O.

證法二：設A(x1,y1)，B(x2,y2).

因為BC∥x軸，所以C（-，y2）.

因為A、B在拋物線上，

所以y12=2px1,y22=2px2.

又因為直線AB過焦點F，

所以kAF=kBF，即=.

所以.

所以y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2).

因為y1≠y2，所以y1y2=-p2.

因為kOC=====kOA,

所以直線AC經過原點O.

證法三：因為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為（,0），

所以設直線AB的方程為x=ky+.

由

消去x得y2-2pky-p2=0.

所以yA·yB=-p2.

因為A（,yA）,C(-,yB),即C(-,-)，

所以直線AC的方程為=.

化簡得y=x.

顯然，原點O適合此方程，所以原點O在直線AC上.

證法四：設B（a，b），則C(-,b)，F(,0),

所以直線BF的方程為y(a-)=b(x-)，

直線OC的方程為y=-x.

所以

消y得-x(a-)=b(x-).

所以所以A′(，-).

因為B在拋物線y2=2px上，所以b2=2ap.

所以A′(，-).

所以(-)2==2p·.

所以A′在拋物線y2=2px上.所以A′與A重合，即直線AC經過原點O.

證法五：如下圖所示，記x軸與拋物線準線l的交點為E，過A作AD⊥l，D是垂足，則AD∥FE∥BC.

連結AC，與EF相交于點N，則，.

根據拋物線的性質,得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|.

所以|EN|===|NF|,

即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經過原點O.

證法六：如下圖所示，

設準線交x軸于點E，過A點作AM⊥x軸于M.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則C（-,y2）,所以=.

由證法二知y1=，

又，

所以=.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.

故A、O、C三點共線，即直線AC過原點O.


練習冊系列答案
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