Question

在對數函數y=logx的圖象上（如圖），有A、B、C三點，它們的橫坐標依次為t、t+2、t+4，其中t≥1，
（1）設△ABC的面積為S，求S=f（t）；
（2）判斷函數S=f（t）的單調性；
（3）求S=f（t）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：根據已知條件，A、B、C三點坐標分別為（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），
對于（1）由圖形得S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根據面積公式代入相關數據即可得到三角形面積的表達式
（2）根據（1）中所求的表達式研究函數的單調性并進行證明即可
（3）由（2）所求的單調性求出三角形面積的最大值．
解答：解：（1）A、B、C三點坐標分別為（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），由圖形，當妨令三點A，B，C在x軸上的垂足為E，F，N，則△ABC的面積為
S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-[logt+log（t+2）]+[log（t+2）+log（t+4））]+2[logt-log（t+4））]
=logt+log（t+4）-2log（t+2）]==
即△ABC的面積為S=f（t）=  （t≥1）

（2）f（t）=  （t≥1）是復合函數，其外層是一個遞增的函數，t≥1時，內層是一個遞減的函數，故復合函數是一個減函數，
（3）由（2）的結論知，函數在t=1時取到最大值，故三角形面積的最大值是
S=f（1）==
點評：本題考查對數函數的圖象和性質的綜合運算，解題時要結合圖象進行分析求解，注意計算能力的培養．