Question

已知函數，設F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的單調區間；
（2）若以，圖象上任意一點P（x，y）為切點的切線的斜率k≤1恒成立，求實數a的最小值；
（3）是否存在實數m，使得函數的圖象與q（x）=f（1+x²）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（x）和g（x）構造得到F（x）的解析式，利用導數大于0得增區間，小于0得減區間．
（2） 切線的斜率k≤1恒成立即導數小于等于1恒成立，從而建立起a與x的關系式，利用恒成立求得a．
 （3）p（x）與q（x）的圖象有四個不同的交點轉化成方程有四個不同的根，分離出m后，轉化成新函數的最大值和最小值．
解答：解．（1）F

∵a＞0，由F'（x）＞0⇒x∈（2a，+∞），
由F'（x）＜0⇒x∈（0，2a）．
∴F（x）的單調遞減區間為（0，2a），
單調遞增區間為（2a，+∞）
（2），
，
則，
所以實數a的最小值為．
（3）若的圖象
與q（x）=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同交點，
即有四個不同的根，
亦即有四個不同的根．
令，
則．
當x變化時G'（x）．G（x）的變化情況如下表：

由表格知：．
又因為可知，當時，
方程有四個不同的解．
∴的圖象與
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同的交點．
點評：本題是個難題，主要考查了導數在函數單調性和最值中的應用，同時考查了導數的幾何意義和恒成立問題．
注意函數的定義域，分離參數在解決恒成立問題中的應用．