Question

本題滿分15分）已知函數，.
(Ⅰ)當時，求函數的極值點；
(Ⅱ)若函數在導函數的單調區間上也是單調的，求的取值范圍；
(Ⅲ) 當時，設，且是函數的極值點，證明：.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 或 (Ⅲ)見解析

試題分析：(Ⅰ)當時， （），
令，
解得(舍)， ，                                 ……1分
容易判斷出函數在區間單調遞減，在區間，+∞)上單調遞增
……2分
∴在時取極小值.                                      ……4分
(Ⅱ)解法一：                        ……5分
令，
，設的兩根為 ，
1⁰當即，≥0，∴單調遞增，滿足題意.         ……6分
2⁰當即或時,
(1)若，則,即時,
在上遞減，上遞增，,
 ∴在(0，+∞)單調增，不合題意.          ……7分
(2)若 則,即時在(0，+∞)上單調增，滿足題意.
……8分
(3) 若則 即a>2時
∴在(0，)上單調遞增，在(，)上單調遞減，在(，+∞)上單調遞增，
不合題意.                                                             ……9分
綜上得或.                                            ……10分
解法二： ,                                  ……5分
令，，
設的兩根 
1⁰當即，≥0，∴單調遞增，滿足題意.           ……6分
2⁰當即或時,
(1)當 若，即時,,
在上單調遞減，在上單調遞增， ，
∴ 在(0，+∞)單調增不合題意.           ……7分
若 ，即時， f(x)在(0，+∞)上單調增，滿足題意.
……8分
(2)當時，，
∴f(x)在(0，x₁)單調增，(x₁，x₂)單調減，(x₂，+∞)單調增，不合題意      ……9分
綜上得或.                                           ……10分
（Ⅲ)，             
令，即，當時，，
所以，方程有兩個不相等的正根，
不妨設，則當，＜0，
當時，＞0，                                        ……11分   所以，有極小值點和極大值點，且，．


．                        ……13分
令，，
則當時，＝－＝＜0，在)單調遞減，……14分所以即                 ……15分
點評：新課標對有關函數的綜合題的考查，重在對函數與導數知識理解的準確性、深刻性，重在與方程、不等式等相關知識的相互聯系，要求學生具備較高的數學思維能力以及較強的運算能力，體現了以函數為載體，多種能力同時考查的命題思想.