Question

已知命題p：方程

x2

2

+

y2

m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：實數m滿足方程（m+4）x²-（m+2）y²=（m+4）（m+2）為雙曲線．若“p∧q”為假命題，“p?q”為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意求出命題p中m的范圍，命題q中m的范圍，利用復合命題的真假求解m的范圍．

解答：（本小題滿分13分）
解：∵方程

x2

2

+

y2

m

=1表示焦點在y軸上的橢圓∴m＞2  …（3分）
∵方程（m+4）x²-（m+2）y²=（m+4）（m+2）為雙曲線，即 

x2

m+2

+

y2

m+4

=1為雙曲線，
∴（m+4）（m+2）＞0解得m＜-4或m＞-2     …（6分）
若“p∧q”為假命題，“p?q”為真命題，則p、q恰有一真一假…（8分）
（1）若“p真q假”則有：

m＞2 -4≤m≤-2

解得m∈∅； …（10分）
（2）若“p假q真”則有：

m≤2 -4＞m或m＞-2

解得m＜-4或2≥m＞-2…（12分）
綜上（1）（2）知，實數m的取值范圍是{m|m＜-4或2≥m＞-2}…（13分）

點評：本題考查橢圓的基本性質與雙曲線的基本性質，復合命題的真假，基本知識的應用．