Question

已知過原點O的一條直線與函數y=log₈x的圖像交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log₂x的圖像交于C、D兩點.

(1)證明: 點C、D和原點O在同一條直線上；

(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.

Answer 1

(1) 證明略(2) 點A的坐標為(，log₈)

解析:

設點A、B的橫坐標分別為x₁、x₂,

由題意知： x₁>1,x₂>1,則A、B縱坐標分別為log₈x₁,log₈x₂.

因為A、B在過點O的直線上，

所以,點C、D坐標分別為(x₁,log₂x₁),(x₂,log₂x₂),

由于log₂x₁==3log₈x₂,

所以OC的斜率： k₁=,

OD的斜率： k₂=，

由此可知: k₁=k₂,即O、C、D在同一條直線上.

(2)解: 由BC平行于x軸知：log₂x₁=log₈x₂ 

即 log₂x₁=log₂x₂,代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁>1知log₈x₁≠0,∴x₁³=3x₁.

又x₁>1,∴x₁=,則點A的坐標為(，log₈).