Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）如果對于任意的，總成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在正實數，使得：當時，不等式恒成立？請給出結論并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.

解析試題分析：（Ⅰ）先求，利用輔助角公式，函數的性質求得；（Ⅱ）構造新函數，用導數法求解，需要對進行分類討論；（Ⅲ）探索性問題，構造新函數，用導數法解題.
試題解析：（Ⅰ）由于，
所以.       (2分)
當，即時，；
當，即時，.
所以的單調遞增區間為，
單調遞減區間為.                         (4分)
（Ⅱ）令，要使總成立，只需時.
對求導得，
令，則，()
所以在上為增函數，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當時，恒成立，所以在上為增函數，
所以，即恒成立；
② 當時，在上有實根，因為在上為增函數，
所以當時，，所以，不符合題意；
③ 當時，恒成立，所以在上為減函數，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數的取值范圍是.                    (9分)
（Ⅲ）存在正實數使得當時，不等式恒成立.
理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                                        (10分)
因為，且，，
所以存在正實數，使得，